R^Nの〜に関する完全代表系を1つ取って T と書く。

スレ主によれば、任意 x∈R^N で x∈T が言えなければ
完全代表系とは認められないらしい。
となれば、R^N⊂T が成り立つことになる。
すなわち、R^N＝T が成り立つことになる。

よって、スレ主によれば、R^Nの〜に関する完全代表系は R^N 自身ということになる。

バカじゃねーの。
wikipedia でも何でもいいから、完全代表系の定義を確認してこいよ。
完全代表系の定義の仕方には複数の流儀が存在するが、どのような定義を採用しても、
R^N それ自体が 〜 に関して完全代表形になることなんて ありえねーよ。