>>535
(>>536の続き)

>>427と同様に、s∈R^N に対して、sの同値類を Γ(s) と書くことにする。
すなわち、Γ(s)＝{ t∈R^N｜s〜t } と定義する。Γ(s)⊂R^N である。次に、
M＝{ A⊂R^N｜∃s∈R^N [ A＝Γ(s) ] } ( ＝ R^N/〜 )
とおく。確かに、Mは R^N の〜に関する商集合である。
一意に定義されるような同値関係〜を「関係」として扱うと、
Γ(s)〜{s} となる。だから、R^N からMへの標準的な全射
f：R^N→M s→Γ(s) は全単射になる。sと {s} を、つまり R^N とMとを同一視すると
全単射fは、任意の s∈R^N に対して、f(s)〜s として扱うことが出来る。
つまり、Γ(s)〜s となる。逆写像 f^{-1} も全単射だから、
f^{-1}(Γ(s))〜f^{-1}(s) となる。従って、f^{-1}(Γ(s))＝s から、
s〜f^{-1}(s) となって、f(s)〜s となる。

R^N に以下のようにして同値関係 = を定義する。
s＝(s_1,s_2,s_3,…), s'＝(s'_1,s'_2,s'_3,…)∈R^N に対して、
s = s' ⇔ {s} = {s'}.
この = が実際に同値関係になっていることの証明は省略。
そして、上と同様にして考えると、今定義したような同値関係 = は
一意に定義されることが分かる。そして、「=」は通常の同値関係「＝」
いわゆる等号「＝」と同じ扱いが出来る。

任意の s∈R^N に対して f(s)〜s、f(s) = {s} つまり f(s)＝s が両方成り立つ
から、2つの関係「〜」と、「=」つまり「＝」とは、同一視出来る。だから、
f(s)〜s と f(s)＝s とは同じ扱いになる。