>>557
Rに以下のようにして同値関係〜を定義する。s，s'∈R に対して、
s〜s' ⇔ s-s'∈R
この〜が実際に同値関係になっていることの証明は省略。

s∈R に対して、sの同値類を Γ(s) と書くことにする。
すなわち、Γ(s)＝{ t∈R｜s〜t } と定義する。Γ(s)⊂R である。次に、
M＝{ A⊂R｜∃s∈R [ A＝Γ(s) ] } ( ＝ R/〜 )
とおく。確かに、Mは R の〜に関する商集合である。
s,s'∈R に対して Γ(s)＝Γ(s') とする。すると、対応の定義から
R からMへの対応 Γ の逆対応 Γ^{-1} はMから R への対応になる。
Γ^{-1}(Γ(s))＝Γ^{-1}(Γ(s')) から (Γ○Γ^{-1})(s)＝(Γ○Γ^{-1})(s') で、
I_{R}(s)＝I_{R}(s') だから、s＝s'。従って、Γは R からMへの単射になる。
そして、Γは R からMへの全射になる。だから、Γは R からMへの全単射。
従って、f：R→M s|→Γ(s) の定義から、fは R からMへの全単射になる。

なるほど、こんなことも証明できるのか