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超積ってなんですか、何ができるのですか？ | ask.fm/kururu_goedel 20140718

真面目に定義すると予備知識を仮定しても洒落にならない長さになりそうなので、executive summaryを最初に。
超積というのは、何か集合Iと、I上の超フィルターUと、ある言語上の構造のindexed family(A_i ; i∈I)があったときに、この(A_i ; i∈I)の積をとってからUで割って新しい構造を作るものです。超積(ultraproduct)の「超」(ultra)は、超フィルターから来ているわけですが、実際には単純な積を割る形なので、ちょっとミスリーディングな気はします。

I上の超フィルターというのは、Iのべき集合P(I)の部分集合Uで、
(i) 全てのX∈U とY∈P(I)に対して、X⊆YならばY∈U かつ
(ii) 全てのX, Y∈Uに対してX∩Y∈U
(iii) I∈U
(iv) 全てのX∈P(I) に対してX∈U またはI＼X∈U
が言えるようなものです。
(i)-(iii)だけだとフィルター。
フィルターは、Iの大きい部分集合の集まりだと考えることができます。
超フィルターは、フィルターのうちでも任意のXに対して、Xが大きいか、または補集合が大きくなるくらいに小さいかを決定しているものと解釈できます。
φ(i)を述語とするとき{i∈I : φ(i)}∈Uという条件をUに関してほとんど全てのiでφ(i)と表現することがあります。
例えば測度空間では、補集合が測度0となるような集合全体の集合はフィルターをなして、このフィルターに関すると「ほとんど全て」は「ほとんどいたる所」に一致します。
つづく