>>669
つづき

例として、Iを正整数全体の集合、Uは任意のI上の超フィルター、A_iを群 Z/iZとします。このとき、Π_{i∈I} A_iで、Iを定義域とする関数pで、任意のi∈Iに対してp(i)∈A_iが成り立つようなもの全体と書くことにします。面倒なので
Π A_iと書いてしまいます。Π A_i上の同値関係~を、{i∈I : p(i)=q(i)}∈Uのときにp~qと定義します。つまりほとんど全てのiで等しい関数は同値ってことです。超積の宇宙は、この関係についての同値類全体の集合です。
群なので演算を定義します。これは簡単で、[p]+[q]=[p+q]です。このケースはこれでおしまい。
えーと、これが本当に群になっているかを証明しないといけないのですが、そのことは超積に対して一般になりたつ以下の定理からすぐにでてきます。

(Losの定理) A=Π A_i / Uを超積、φを(A_iを記述するのに使われた言語上の)一階の述語とする。このとき、A|=φ([p_1], …, [p_n]) と{i∈I : A_i|=φ(p_1(i), …, p_n(i))}∈U は同値。

えーと、Losにはアクセント記号がついて、読み方は日本語表記だと「ウォシュ」が近いようです。
ああ、これは述語論理勉強してない
人には読めないな。例えば任意のA_iで0が単位元であることは∀x(x+0=x)と書けるので、pをp(i)=0となる定数関数とすると、{i∈I : A_i |=∀x(x+p(i)=x)}=I∈Uが言えるため定理により[p]は単位元になります。
じゃあ、A_iは全て有限群だからAも有限群かっていうとそうはなりません。なぜ定理が使えないかというとかというと、有限群であるということを表現するのには一階の述語では足りないからなんですね。

つづく