>>670
つづき

えーと、関係記号があるような例として、I=ω、Uは任意のI上の超フィルター、A_iは全て自然数全体の集合に普通の加算と順序をいれたものにしましょうか。このように、A_iが全て同じ超積は超べきと呼ばれます。
加算の定義までは同じなので省略して、順序≦を、{i∈I : p(i)≦q(i)}∈Uのときに[p]≦[q]で定義します。先述の定理はこれでも成り立ちます。
関数j:N→Aを、j(n)は値がnの定数関数の同値類と定義します。定理により、このjは初等埋め込み、すなわち任意の一階の述語φ(v_1, …, v_n)とk_1, …, k_nに対して、N|=φ(k_1, …, k_n)とA|=φ(j(k_1), …, j(k_n))が同値になるような関数になります。
この意味で、NはAに埋め込まれているので、AはNの拡張と解釈することができます。しかも、一階の述語で書かれた性質を変えないとても保守的な。
面白いのは、Aには無限降下列が存在するってことです。任意の自然数nに対して、p_nをi<nならばp_n(i)=0、そうでなければp_n(i)=i-nで定義すると、([p_n] : n<ω)は無限降下列になります。これも一階の述語で書けないので定理と矛盾しません。
無限に降下できる[p_n]たちは、無限大の「自然数」とみなすことができて、このアイデアを推し進めていくと超準解析の一つの表現が出来上がります。

つづく