＞まあ、言いたかったことは、前スレ>>699 >>751 での引用によれば
＞決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」ってことで
＞そこまで（１０^Nまで）落とせば、可測にできるんじゃないかと

横レスだが、もし決定性公理を仮定するのなら、
10^N/〜 の完全代表系は「存在しない」ことが証明できる。


そもそも、「Rの任意の部分集合は可測」という主張を、

「選択公理を採用したときは非可測だった集合が、決定性公理のもとでは可測集合に 化 け る 」

という意味で捉えるのは語弊がある。それよりも

「選択公理を採用したときは非可測だった集合が、決定性公理のもとではそもそも集合として認識されない」

という意味で捉えた方が語弊が少ない(はず)。
決定性公理を採用すると、集合を作るための手段が選択公理のときよりも限定されてしまうので、
選択公理を使えば作れたはずの集合が、決定性公理のもとでは その集合まで到達できなくなる。
従って、「Rの任意の部分集合は可測」という主張は、「非可測だった集合が可測に化ける」という意味ではなくて、
「非可測だった集合は集合として認識されなくなる」と捉えた方がよくて、実際に 10^N/〜 の場合は、
選択公理を採用したなら完全代表形が存在する(ただし非可測である)のに、決定性公理のもとでは
完全代表形の存在そのものが抹消される。