http://imgur.com/Rqa4Upy.jpg
http://imgur.com/79jqQcU.jpg
http://imgur.com/LFbHhik.jpg

↑は、桂利行著『代数学I 群と環』です。

1枚目の画像を見てください。群 G の部分集合 S, T に対し、 ST が定義されています。

2枚目の画像でなぜ新たに、剰余類の積を定義しているのでしょうか？

もちろん1枚目の画像の定義と2枚目の画像の定義は一致します。

3枚目の画像に、「この積が代表元のとり方によらず一意的に定まることを示さなければならない。」
と書かれていますが、1枚目の定義をそのまま使うならば、代表元がどうのこうのいう必要がありません。

桂利行さんは、やっていることが全く意味不明です。