A4 : 4次の交代群
V4 : クラインの4群

とするとき、

V4 が A4 の正規部分群であることを証明するにはどうすればいいのでしょうか？

#(A4) = 4!/2 = 12
#(V4) = 4

です、

a ∈ A4
v ∈ V4

の 12*4 = 48 通りのコンビネーションに対して、

a*v*a^(-1) ∈ V4

かどうか確かめなければならないのでしょうか？

a*v*a^(-1) ∈ V4 であることが明らかな組み合わせがあるので多少
計算量を減らせますが。