>>471

ε を任意の正の実数とする。
δ := min(1, ε/6) とする。

すると、

δ ≦ 1 だから、 δ^2 ≦ δ
δ ≦ ε/6 だｋら、 6*δ ≦ ε

である。

x, y を以下の不等式を満たす任意の実数とする。

0 < sqrt((x-3)^2 + (y-1)^2) < δ

すると、

|x-3| = sqrt((x-3)^2) ≦ sqrt((x-3)^2 + (y-1)^2) < δ
|y-1| = sqrt((y-1)^2) ≦ sqrt((x-3)^2 + (y-1)^2) < δ

である。

以上より、

|x*(y+1) - 6| = |(x-3+3)*(y-1+2) - 6| = |x-3|*|y-1| + 2*|x-3| + 3*|y-1|
<
δ^2 + 2*δ + 3*δ = δ^2 + 5*δ ≦ δ + 5*δ = 6*δ ≦ ε