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↑は、桂利行著『代数学I 群と環』の章末問題(8)とその解答です。

なんか長々と書いていますが、センスないですね ＞ 桂さん。

普通、以下のような解答になりますよね：

G の単位元以外の元を a とすると、仮定より、
{e, a} は G の部分群でなければならないので、
a*a = e でなければならない。すなわち、単位元
以外の G の元の位数は 2 である。

#G ≧ 3 ならば、

{e, a, b} ⊂ G
#{e, a, b} = 3

となるような G の部分集合 {e, a, b} が存在するが、仮定により、
{e, a, b} は部分群であり、 a, b の位数は 2 でなければならない。
2 は #{e, a, b} = 3 を割り切らないから、これは矛盾である。

したがって、 #G ≦ 2 でなければならない。