(m, n) 行列 A の階数を r とする。
A の一次独立な r 個の行ベクトルが存在する。
それらの行番号を i_1, …, i_r とする。
A の一次独立な r 個の列ベクトルが存在する。
それらの列番号を j_1, …, j_r とする。

行 i_1, …, i_r
列 j_1, …, j_r
を取り出して作った r 次の行列の階数は r であることを証明せよ。

この問題の標準的な解答を教えてください。

以下の解答は標準的でしょうか？

行列 A の行 i_1, …, i_r からなる行ベクトルからなる行列を B とする。
B の行階数は r であるから、その階数は r である。

A の列 j_1, …, j_r 以外の列は、 A の列 j_1, …, j_r の一次結合で書けるから、
当然、 B の列 j_1, …, j_r 以外の列も、 B の列 j_1, …, j_r の一次結合で書ける。
B の列 j_1, …, j_r は一次独立である。なぜなら、もしも、一次従属であると仮定すると、

B の列階数 < r

となり、 B の列階数 = B の階数 = r であることに矛盾するからである。

以上から、行列 B の列 j_1, …, j_r からなる列ベクトルからなる行列を C とすると、
C の階数は r である。