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中心極限定理 ? ９９.９%の科学?曖昧から確信へ

中心極限定理が成り立たない場合

もとの母集団に平均や分散が存在しない場合は、中心極限定理は成り立ちません。その場合は安定分布を持ちいた他の理論が存在します。母集団に平均や分散が存在しないとはどんな場合でしょうか？
典型的な例は、分布の裾野がべき乗則に従う場合です。これをファットテールと言います。

母集団の分布の裾野（kが大きいところ）が、べき乗則f(k)∽ k^(-γ)に従うとしましょう。すると、べき乗則の指数γによって、以下のように中心極限定理が成立する場合と、しない場合があります。

(1) 指数　γ > 3　の時、母集団の期待値、分散が両方とも有限であり、中心極限定理が成立する。

(2) 指数　3> γ > 2　の時、母集団の期待値は有限であるが、分散は発散する。中心極限定理は成立しない。しかしその場合でも、中心刻限定理の一部として、母集団からの取り出された標本（サンプル）の平均\bar{X}の分布は、平均\muに収束する事実は成立する。（大数の法則）

(3) 指数　2> γ > 1　の時、母集団の期待値、分散両方とも発散する。中心極限定理は成立しない。