例えば、Aの「ガウス行列」が以下のようになったとします。

[
[0, 1, 2, 3, 4],
[0, 0, 0, 5, 6],
[0, 0, 0, 0, 7],
[0, 0, 0, 0, 0]
]

A1 := [0, 1, 2, 3, 4]
A2 := [0, 0, 0, 5, 6]
A3 := [0, 0, 0, 0, 7]
A4 := [0, 0, 0, 0, 0]

とします。

A のゼロでない行ベクトルは以下のベクトル：

A1 := [0, 1, 2, 3, 4]
A2 := [0, 0, 0, 5, 6]
A3 := [0, 0, 0, 0, 7]


c1*A1 + c2*A2 + c3*A3 = 0

[0, c1, 2*c1, 3*c1+5*c2, 4*c1+6*c2+7*c3] = [0, 0, 0, 0, 0]

第2成分を左辺と右辺で比較すると、c1 = 0 でなければならない。

[0, 0, 0, 5*c2, 6*c2+7*c3] = [0, 0, 0, 0, 0]

第4成分を左辺と右辺で比較すると、c2 = 0 でなければならない。

[0, 0, 0, 0, 7*c3] = [0, 0, 0, 0, 0]

第5成分を左辺と右辺で比較すると、c3 = 0 でなければならない。

結局、 c1 = c2 = c3 = 0 でなければならない。

これは、 A1, A2, A3 が一次独立であることを意味する。

一般の「ガウス行列」の場合も同様です。