『Ikuro's Home Page』さんには、よくお邪魔してます。大変参考にさせていただいています。

最大公約数の話ですが、「ユークリッドの互除法」と名付けられている方法があることを、
おそらく私は高校１年で習いました。ただ、a と b　の公約数は、a と a-b の公約数でも
あることを、どこで教わることもなく、体得していたため、当然のことと受け止めたことを覚えています。
小学生相手には「ユークリッドの互除法」ではなく、（a と b　の公約数）＝（a と a-b の公約数）
を教えるだけで、ほぼ十分なのではないかと思います。これを繰り返していけば、
自動的にユークリッドの互除法にたどり着きますし。

「連分数」 、「黄金比」、「白銀比」、などを、小中学生に面白く教えることができれば、
数学好きな児童・生徒を増やせそうですよね。あと、フィボナッチ数列なんかも。
でもこれらは、学校の算数／数学の授業にはそぐわないと考えられているのではないでしょうか。
特別授業とか、地域住人参加可能な公開授業なんかの方が相性がよいと思います。

144に関連し、何か面白い有理数→有理数→有理数→．．．の様な変換はないかと思っていたんですが、
思いがけず、Farey分数がそのまま使えることに気づきました。
Farey分数は二分木構造そのものですから、原始ピタゴラス数を二分木構造に埋め込むことが可能です。
例の三分木構造は、一つのピタゴラス数から、一人の親と三人の子を直接見つけることができますが、
この二分木構造は、親子関係を確定させるためには、ある程度の近親者情報が必要となります。
そのため、あまり面白くはありません。