S_n(m) = 1^n + 2^n + … + m^n とおく。(m≧2) 　
これがmで割り切れる条件を考えます。

・n=1 のとき 　S_1(m) = m*(m+1)/2,

∴「mが奇数のとき」



・nが奇数 (n≧3) のとき

a^n +(m-a)^n ≡ 0 (mod m) なので

mが奇数のとき、 S_n(m) ≡ 0 (mod m)

mが偶数のとき、 S_n(m) ≡ (m/2)^n (mod m)

∴「mが奇数または4の倍数のとき」



・nが偶数のとき

未完成（問題）

mの素因数の一つをpとする。

(p-1) | n ならば、フェルマーの小定理が成り立ち、なぜかS_n(m)がmで割り切れない。

∴「mのすべての素因数pについて、(p-1)がnを割り切らないとき」（？）

という問題です。
反例があるかも知れません。