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共形ブロック

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/ohkubo_y14.pdf
修論 AGT予想の漸化式を用いた証明と一般化されたJack多項式による証明 大久保勇輔 名大 多元数理 2013
(抜粋)
概要
本論文は２次元共形場理論の相関関数と４次元ゲージ理論の分配関数が一致する
というAGT 予想に関するサーベイ論文である.

1 序文
2009 年, Alday-Gaiotto-立川によって４次元N = 2 超対称SU(2) ゲージ理論のインスタ
ントン分配関数と, ２次元共形場理論の共形ブロックが一致するという驚くべき関係（AGT
予想）が, 素粒子物理学の超弦理論による立場から発見された[2].
ゲージ理論は長い歴史を持ち, 数学者や物理学者によって精力的に研究された魅力的な
理論である. この理論の分配関数を一般に計算することは困難であるが, 簡単化して計算
できるようにしたインスタントン分配関数は, 2004 年にNekrasov によって明示的な公式
（Nekrasov 公式）が与えられている[26].

共形場理論は1984 年に, Belavin-Polyakov-Zamolodchikov（BPZ）の３人によってその
基礎がほぼ完成され, 強磁性体をモデル化した２次元Ising 模型の臨界現象などを記述し
た[9].

BPZ の行った研究は, プライマリー場が特殊な共形次元を持つときに限定して行
われたもので, 相関関数を一般的な形で調べることはされていなかった. また相関関数の
満たす微分方程式を導いても, その解を綺麗に表すことは難しい. 実はプライマリー場の
相関関数を少し変形したものが共形ブロックであるのだが, このような共形場理論の立場
からみると, Nekrasov 公式と共形ブロックの一致を述べたAGT 予想の研究は, プライマ
リー場の相関関数に一般的な公式を与えられるという期待の下に行われている.