つづき

●コンパクト性定理

モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ

これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある

つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。

(引用終り)