つづき

第一クザン問題は、次のように層コホモロジーの言葉で理解することができる。K を M 上の有理型函数の層として、O を正則函数の層とする。K の大域切断 ? は、層の商である層 K/O の大域切断 φ(?) へ写像される。
この逆の問題が第一クザン問題である。つまり、K/O の大域切断が与えられたときに、これから作られる K の大域切断が存在するか？という問題である。この問題は、写像

H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) .
の像を特徴つける問題である。ホモロジーの長完全系列により

H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) → H 1 ( M , O )
は完全であるので、第一クザン問題は、第一ホモロジー群 H1(M,O) が 0 となるときは、常に解くことができる。特に、カルタンの定理 Bにより、M がシュタイン多様体であれば第一クザン問題は常に解ける。

第二クザン問題

第二クザン問題(the second Cousin problem)、もしくは乗法的クザン問題(multiplicative Cousin problem)は、各々の比率が、

f i / f j

が 0 でない正則函数として定義され与えられているとき、M 上の有理型函数 f で

f / f i

が 0 とならないような正則函数が存在するかを問うている。第二クザン問題は、前もって与えられた零点を持つ一変数の正則函数の存在についてのヴァイエルシュトラスの定理の多次元への一般化となっている。

つづき