お久しぶりです。おっちゃんです。
スレ主不在なので、ここに落書きします。以下は下書き。

a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なりかつ1ではないような正の実代数的数とする。
このとき、任意の互いに相異なる代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
証明]：或る互いに相異なる代数的無理数 b_1,b_2,…,b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}＝c cは代数的数 とする。すると、
a_1,…,a_n＞0 からcは正の実代数的数で、両辺に対して自然対数を取ると、
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝log(c) となる。
i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき、C＝log(c) とおく。
α＝b_1・A_1＋…＋b_n・A_n−C とおく。すると α＝0 となる。
ところで、0ではない代数的数全体 {Q~}＼{0} は通常の乗法の二項演算について群をなす。
また仮定から、a_1,…,a_n は相異なりかつ1ではないような正の実代数的数である。
仮定から、互いに相異なる代数的無理数 b_1,…,b_n は何れも±1ではない。
従って、ゲルフォント・シュナイダーの定理の系から、A_1,…,A_n は
有理数体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 p_2,…,p_n に対して
A_1＝p_2・A_2＋…＋p_n・A_n となる。同様にその定理の系から、各 i=2,…,n に対して、
(A_i)/(A_1)＝(log(a_i))/(log(a_1)) は有理数か超越数である。