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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29 [無断転載禁止]©2ch.net

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1現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

2017/01/15(日) 10:11:35.71ID:3YFHDxHU

357１３２人目の素数さん

2017/04/11(火) 10:38:45.92ID:Yji/Wubi

おっちゃんです。
では、特別サービスで証明。だけど、これは示されているよね。

a_1,a_2 ,…, a_n を任意の相異なる2個以上のn個の素数とする。
このとき、任意の代数的無理数 b_1, b_2,…, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} は超越数である。
証明]：或る代数的無理数 b_1, b_2, …, b_n に対して、
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n} を代数的数とする。
(a_1)^{b_1}・…・(a_n)^{b_n}＝c　　　(1)
とおく。すると、仮定から各 i=1,2,…,n に対して a_i は素数だから a_i≧2 である。
また、素数は正の代数的数である。従って、cは正の実代数的数である。
そして、(1)の両辺に対して自然対数を取ると、
b_1・log(a_1)＋…＋b_n・log(a_n)＝log(c)　　　(2)
となる。i=1,…,n に対して A_i＝log(a_i) とおき、C＝log(c) とおく。
α＝b_1・A_1＋…＋b_n・A_n－C　　　(3)
とおく。すると、(2) から α＝0 である。

358１３２人目の素数さん

2017/04/11(火) 10:41:32.34ID:Yji/Wubi

(>>357の続き)
ところで、0ではない代数的数全体 {Q~}＼{0} は通常の乗法の二項演算について群をなす。
また、仮定から b_1,…,b_n は代数的無理数だから、b_1,…,b_n は何れも±1ではない。
各 i=1,2,…,n に対して a_i≠1 だから、ゲルフォント・シュナイダーの定理
(以降、「ゲルフォント・シュナイダーの定理」を「G-Fの定理」と略記する) の系から、
A_1,…,A_n は有理数体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 p_2,…,p_n が存在して
A_1＝p_2・A_2＋…＋p_n・A_n　　　(4)
となる。仮定から、a_1 ,…, a_n は相異なる2個以上の素数だから、同様にG-Fの定理の系から、
各 1≦i＜j≦n なる整数 i,j に対して、(A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) は超越数である。
(4) の右辺を (3) の A_1 に代入すると、
α＝b_1・(p_2・A_2＋…＋p_n・A_n)＋b_2・A_2＋…＋b_n・A_n－C
となり、両辺を整理すると
α＝(b_1・p_2＋b_2)・A_2＋…＋(b_1・p_n＋b_n)・A_n－C
となる。従って、各 i=2,…,n に対して r_i＝b_1・p_i＋b_i とおくと、
α＝r_2・A_2＋…＋r_n・A_n－C　　　(5)
を得る。同様に、G-Fの定理の系から、A_2＝log(a_2), …, A_n＝log(a_n), C＝log(c) は
体Q上線型従属である。故に、何れも或る既約な有理数 q_2,…,q_n が存在して
C＝q_2・A_2＋…＋q_n・A_n となる。ここで、α＝0 なること、
及びG-Fの定理の系から、各 i=2,…,n に対して
(A_i)/C＝(log(a_i))/(log(c)) は有理数か超越数であることに注意する。

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