(>>358の続き)
Case1)：n＝2 のとき。このとき、(4) は A_1＝p_2・A_2 となる。上の議論と同様に考えると、
G-Fの定理の系から、(A_1)/(A_2)＝(log(a_1))/(log(a_2)) は超越数である。
しかし、これは p_2∈Q なることに反し矛盾する。
Case2)：n≧3 のとき。kを 2≦k＜n なる自然数変数とする。
Case2-1)：各 i=2,…,n に対して (A_i)/C がすべて超越数のとき。
2≦k＜n なる自然数kを任意に取る。A_k＝log(a_k), …, A_n＝log(a_n) は
体Q上線型従属だから、何れも或る既約な有理数 q_{k+1} ,…, q_n が存在して
A_k＝q_{k+1}・A_{k+1}＋…＋q_n・A_n　　　(4')
となる。上の議論と同様に考えれば、G-Fの定理の系から、
各 k≦i＜j≦n なる整数 i,j に対して、(A_i)/(A_j)＝(log(a_i))/(log(a_j)) は超越数である。
2≦k＜n なる自然数kは任意だから、kの小さい値から帰納的に考えて行き、
各 k=2,…,n-1 に対して得られる式 (4') を (5) に帰納的に代入して整理する操作
を繰り返して行くと、或る実代数的数aが存在して、a・(A_n)−C＝0 となる。
従って、a・(A_n)/C＝1 となる。しかし、(A_n)/C は超越数だから、a・(A_n)/C≠1 であり矛盾する。
Case2-2)：或る i=2,…,n に対して (A_i)/C が有理数のとき。
Case2-2-1)：各 i=2,…,n に対して (A_i)/C がすべて有理数のとき。
2≦i＜j≦n なる整数 i,j を任意に取る。すると、iに対して或る既約な有理数 (l_i)/(m_i) が定まって、
(A_i)/C＝(l_i)/(m_i) つまり log(a_i)＝(l_i)/(m_i)×log(c)。
従って、a_i＝c^{(l_i)/(m_i)} であり、c＝(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＞0。
同様に、jに対して或る既約な有理数 (l_j)/(m_j) が定まって、a_j＝c^{(l_j)/(m_j)} となり、c＞0。
従って、(a_i)^{(m_i)/(l_i)}＝(a_j)^{(m_j)/(l_j)} から
(a_i)^{(m_i)・(l_j)}＝(a_j)^{(m_j)・(l_i)}。　　　(6)
ここで、log(a_i)≠0 だから、(l_i)/(m_i)≠0。また、log(a_j)≠0 だから、(l_j)/(m_j)≠0。
従って、(m_i)・(l_j), (m_j)・(l_i) は両方0でない整数である。
しかし、a_i, a_j は相異なる素数だから、(6) は成り立たず矛盾する。