>>414
(>>419に従い、おっちゃんのコメントを、有理数体Q上線型「独立」などに修正すると・・)

>p_1・log(a_1)＋…＋p_n・log(a_n)＝0 、p_1,…,p_n はすべてが0ではないような有理数
>とすると、(a_1)^{p_1}・…・(a_n)^{p_n}＝1 になるが、素数の定義から、a_1,…,a_n は
>どの2つも互いに素でそれらの正の最大公約数が1の正整数だから、これは成り立ち得ない。
>だから、「A_1,…,A_n は有理数体Q上線型独立である。」はいえる。

さーて、>>408 ベイカーの定理より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
定理1 (対数関数の一次形式の線形独立性)
α1,・・・,αnを 0 ではない代数的数とする。もし、 log α1,・・・,log αnが有理数体上線形独立であるならば、1, log α1,・・・,log αn は、代数的数体上線形独立である。
(引用終り)

また、リンデマンの定理 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
から、「0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。」は言える
だから、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数は言える

整理すると
１）互に異なる２つ以上の素数p1,p2 ,…, pn で、これはあきらかに代数的数
２）リンデマンの定理から、log p1, log p2, ・・・, log pn は、すべて超越数だが、リンデマンの定理だけでは”代数的数体Q~上線形独立”はまだ言えない
３）但し、>>408で考察したように、”任意の二つの素数で、log pi, log pj は、有理数体Q上線型独立”だろうと思う （未証明）
　　さらに進んで、”log p1, log p2, ・・・, log pn 全体として、有理数体Q上線型独立”が言えるかどうか 注１＊）
４）もし、log p1,・・・,log pnが有理数体上線形独立であるならば、ベイカーの定理より, ”1, log p1,・・・,log pn は、代数的数体上線形独立である”注２＊）は言える。
５）なので、注１＊）が証明できるかどうか。それと、注２＊）のベイカーの定理で、”1”を落として良いかどうか？ **) そこが個人的にはギャップありと思うよ

**) ベイカーの定理で、”1”が付属している数学的な意味がいまいち分かっていないスレ主です（＾＾；