オンプ関数を次のように定義する
　a(♪0)＝Ack(a,a,a(a回)a)
　a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)
そして
　a(♪♪0)＝a(♪a)
　a(♪♪b+1)＝a((♪♪b)＾a)
同様に、♪がいくつあっても
　a(♪(c個)♪0)＝a(♪(c-1個)♪a)
　a(♪(c個)♪b)＝a((♪(c個)♪(b-1))＾a)
そして、ここで縦に無限に広がるテープを考える。その表の一番前の所に1と書く。テープの二番目からは、前にある数をxとして、
　x(♪(x個)♪x)
で、できた数を書く。実際に計算すると一番前は1で、1(♪1)＝2なので、二番目の数は2となる。三番目の数は、
　2(♪♪2)＝2(♪♪1)(♪♪1)＝(省略、、)＝Ack(7,7,7,7,7,7,7)(♪1)(♪♪0)(♪♪1)　という事になるので、もう巨大な数となる。
さらに巨大にするために、テープを表に拡張させる。ここで、:(横,縦)　という表記を用いる事にする。
一番左の行は、前述テープと同じで、二行目からは、まず:(a,1)に1を書き、
:(a,b)＝:(a-1,:(a,a-1)♪)　とする。
そうした時の、:(9(♪9),9(♪9))