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x≧0，y≧0，z≧0の領域だけ考えると、全体の1/8が求まる。
さらに、その領域をx,y,zの大小関係で6分割する。
たとえば、x≦y≦zの領域だけ考えると、対称性よりx,y,zが正の領域のさらに1/6が求まる。
以下、0≦x≦y≦zの領域に含まれる部分のみを考える。（全体の体積はそれの48倍となる）
x^2+z^2≦1 ∧ y^2+z^2≦1 ∧ x^2+y^2≦1　という条件は、
x^2+z^2，y^2+z^2，x^2+y^2のうちの一番大きいものが1以下とみなせるので、
0≦x≦y≦zの領域では　y^2+z^2≦1　だけを考えればよい。←ここがミソ
z=t（0≦t≦1)における断面を考えると、x,yの満たすべき条件は
x≧0，x≦y≦t，y≦√(1-t^2)
ここで、tと√(1-t^2)の大小を考えると、
0≦t≦1/√2のとき、x≧0，x≦y≦tとなり、断面の面積は2辺がtの直角二等辺三角形でt^2/2
1/√2≦t≦1のとき、x≧0，x≦y≦√(1-t^2)となり、
断面の面積は2辺が√(1-t^2)の直角二等辺三角形で(1-t^2)/2
よって、0≦x≦y≦zに含まれる部分の体積は
∫[0〜1/√2] t^2/2 dt + ∫[1/√2〜1] (1-t^2)/2 dt = (2-√2)/6

全体の体積はこれを48倍して16-8√2