>>687

短い答え：たとえば、三次元から二次元への線形写像を考えれば、その「逆」というのはあり得ない事がわかる。

丁寧に説明すると：
f : R^3 --> R^2 というのがあれば行き先が二次元なんだから
f(e1), f(e2), f(e3) は一次独立ではない（どうして？）。

したがって、
f(e1) + α f(e2) + β f(e3) = 0 となる α,βが存在すると仮定しても一般性を失わない（どうして？）。

このことから、線型写像の性質によって
f(e1 + α e2 + β e3) = 0
であることがわかる。よって、dim (Ker f) ≧1となる。

R^3 = V + Ker f と直和分解しておく。いま仮に f の逆写像 g : R^2 --> R^3
が存在したと仮定すると

　　　g ○ f = id_{R^3}

とならねばならない。さて、直和分解に従って任意の x∈R^3 を x = x_1 + x2 と分解しておくと、

g( f (x) ) = g( f(x_1 + x_2) ) = g( f(x_1) + f(x_2) ) = g( 0 + f(x_2) ) = g(f(x_2))

g には x_2 の情報しか与えられておらず、x_1 を復元できない。よって f の逆写像が
存在するという仮定そのものが間違っている。つまり、ｆは逆写像を持たない。