>>687
定義域と終域の次元が一致しないと逆写像が存在しないことは、
>>689の人の言うとおりです。
線型写像の場合、逆写像は存在しなくても、
代用の逆写像っぽいものを考えることはあります。

(1)原像
異なる線型空間 V から W への線型写像で f にｂﾂいて、
W の元 y に対して V の元 x で f(x)=y となるものの集合
を与える写像 y→{x|f(x)=y} を考えることがある。
{x|f(x)=y} を y の f による原像という。

(2)一般化逆写像
異なる線型空間 V から W への線型写像で f について、
W 上で定義されて、W の元 y が {f(x)|x∈V} に含まれる
場合に限っては、f(x)=y となる x のうちのひとつ
を与える線型写像を、f の一般化逆写像といい、
一般化逆写像の表現行列を一般化逆行列といいます。
与えられた線型写像やその表現行列に対して、
一般化逆行列は複数存在する場合があります。
参考：
http://www012.upp.so-net.ne.jp/doi/math/anova/g_inv.pdf
https://www.kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-9784130640701