>>932 では、ああいう書き方をしたけど、
A の任意の固有値,固有ベクトル対を λ,x とすると、
<x|A|x> = <x|Ax> = <x|λx> = λ<x|x> だから
<x|A|x> ≧ 0, <x|x> > 0 なら λ ≧ 0 でしょ。
背理法は、特に要らないかと。

ペロン・フロベニウスの定理は、関係なさそうだけどね。