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下記、素数が無数に存在することの証明 紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』 だから、紀元前3世紀頃には、無限は当然古代ギリシャでも認識されていた
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素数が無数に存在することの証明
素数が無数に存在することの証明は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理（英: Euclid's theorem）と呼ばれる。

ユークリッド
『原論』第9巻命題20[1]で、素数が無数に存在することが示されている。その証明は、次の通りである[2]
a, b, …, k を任意に与えられた素数のリストとする。その最小公倍数 P := a × b × … × k に 1 を加えた数 P + 1 は、素数であるか、素数でないかのいずれかである。
素数であれば、最初のリストに含まれない素数が得られたことになる。素数でなければ、何らかの素数 p で割り切れるが、p はやはり最初のリストに含まれない。なぜならば、リスト中の素数は P を割り切るので、P + 1 を割り切ることは不可能だからである。任意の素数のリストから、リストに含まれない新たな素数が得られるので、素数は無数に存在する。
この証明は、しばしば次のような形で表現される。
素数の個数が有限と仮定し、p1, … pn が素数の全てとする。その積 P = p1 × … × pn に 1 を加えた数 P + 1 は、p1, …, pn のいずれでも割り切れないので、素数でなければならない。しかし、これは p1, …, pn が素数の全てであるという仮定に反する。よって、仮定が誤りであり、素数は無限に存在する。
この形の証明のために、「ユークリッドは、背理法で素数が無数にあることを証明した」「ユークリッドの証明は、存在のみを示しており、具体的な構成の手続きを示していない」「ユークリッドは、最初のいくつかの素数の積に1を加えた数が素数であることを証明した」などの誤解をする者がいるが、いずれも正しくない[3]。
特に、最後の主張は 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 という反例により、歴史的にのみならず数学的に誤りである。