>>23 つづき

で、>>18の ルジャンドルの定理に基づく発言は、ＰＤＦを読むと
公理１〜４を認めた上で、公理５（平行線公理）を否定するって話だね

だが、>>23に示したように、
「サッケーリは背理法を用い、角Cと角Dが直角でない場合を考え、矛盾を導き出そうと試みた。
鈍角の場合、直線は有限であるという結論を得たので、これはユークリッドの第2公準に反するとして、サッケーリはこの可能性については排除した。
しかし現在、第2公準と第5公準を否定した幾何学としては例えば楕円幾何学が知られている。
鋭角の場合についてサッケーリは有効な反論をすることができず、「鋭角の仮定は絶対に間違っている、なぜならそれは直線の性質に矛盾しているからだ」という表現に留めている[14]。」

ってことなんだ。サッケーリの話は、そのＰＤＦのＰ5に書かれている

で、非ユークリッド幾何をどう考えるかで、そのＰＤＦの泉屋　周一先生（北大）( http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/678)
は、公理１〜４を認めてという縛りを入れたんだ

が、しかし現代数学の標準の非ユークリッド幾何は、>>18川平友規先生（名大）とか、過去スレの下記wikipediaの立場でしょ
広くは、広義リーマン幾何（曲率が一定でない）まで含むのが普通（川平友規先生ＰＤＦ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
非ユークリッド幾何学
(抜粋)
非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
リーマン幾何学とは、リーマン計量や擬リーマン計量と呼ばれる距離の概念を一般化した構造を持つ図形を研究する微分幾何学の分野である。
楕円・放物・双曲の各幾何学は、リーマン幾何学では、曲率がそれぞれ正、0、負の一定値をとる空間（それぞれ球面、ユークリッド空間、双曲空間）上の幾何学と考えられる。