(>>79の続き)
ここに、互いに交わらない右半開区間の有限和 I_1,…,I_n,…∈R(I) について
I_1,…,I_n,… が各々が同時にそれぞれ与えられた時刻を t＝0 とするとき、
I_1,…,I_n,… から ∪_{n∈N}(I_n)∈R(I) のように新しく何らかの和、差、共通部分などの集合Kを作って
その集合Kに対して選択公理を用いて実数を見る時刻を t＝1 とする(選択公理を使うかは任意)。
(例えば、時刻 t＝0 に与えられた ∪_{n∈N}(I_n)∈R(I) から選択公理を用いて
時刻 t＝1 に I_1,…,I_n,…∈R(I) が構成されたと見なせると同時に、
時刻 t＝0 に同時に与えられた I_1,…,I_n,…∈R(I) から
時刻 t＝1 に ∪_{n∈N}(I_n)∈R(I) が構成されたと見なせるので、
確率測度の公理を満たさせるために μ(∪_{n∈N}(I_n))＝Σ_{n∈N}( μ(I_n) )＝0 とする。
Iの2個以上の右半開区間の有限和や確率測度の有限和についても同様。)
そうすると、確率空間 (I, R(I), μ) が定義される。
ここで、f(a)＝1, f(x)＝0 x∈I なるような右半開区間I上の単関数fを考える。
a∈I としていて、{a}⊂I は零集合なること注意すると、fはI上でルベーグ積分出来る。
aは箱の中に入っているから、箱を開ける前にaを見る確率は ∫_If(x)dx＝μ({a}∩I)＝μ({a})＝0。
従って、選択公理から、箱を開ける前に時刻 t＝0 で選択公理を適用してIの実数のうちaを見る確率は
μ(I＼{a})＝μ(I)−μ({a})＝1−0＝1。
選択公理を用いた後に箱の中の実数を当てるルールだから、Iに属するaではない実数を見た上で、
除いたaは何かを当てることが出来る確率は1になる。-∞ は実数ではないから、選択公理を用いると、
Rに属するaではない実数を見た上で、除いたaは何かを当てることが出来る確率は1になる。