>>338
ACの中点をM、BDの中点をNとする。
中線定理より
　MP^2 +(1/2)AC^2 = NP^2 +(1/2)BD^2,
となる。
題意により　M=N
∴　A〜Dは同一平面上にある（共面）。
この平面内で考えれば十分。


〔類題〕
空間内に相異なる４点A〜Dがあり、任意の点Pに対して
　PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 + k^2
が成り立つとき、 ４角形ABCDはどんな形か？