正解が出たので

箱に1からnまでの番号を振ると
猫は偶数の箱と奇数の箱に交互に入ることがわかる。

以下の方法を用いれば(2n-4)日以内に見つかる


見つかった時点で終了するとして

奇数日に偶数の箱（、偶数日に奇数の箱）にいると仮定する
1日目　箱2を調べる
いない場合、翌日は箱1は空
2日目　箱3を調べる
いない場合、翌日は箱2は空
3日目　箱4を調べる
いない場合、翌日は箱1,3は空
4日目　箱5を調べる
いない場合、翌日は箱2,4は空
5日目　箱6を調べる
いない場合、翌日は箱1,3,5は空
…
(n-2)日目　箱(n-1)を調べる
いない場合、今日いるはずの箱は全て空ということになり、仮定が誤り

この場合、奇数日に奇数の箱（、偶数日に偶数の箱）にいる
(n-1)日目　箱(n-1)を調べる
いない場合、翌日は箱nは空
(n)日目　箱(n-2)を調べる
いない場合、翌日は箱(n-1)は空
(n+1)日目　箱(n-3)を調べる
いない場合、翌日は箱(n),(n-2)は空
(n+2)日目　箱(n-4)を調べる
いない場合、翌日は箱(n-1),(n-3)は空
(n+3)日目　箱(n-5)を調べる
いない場合、翌日は箱(n),(n-2),(n-4)は空
…
2(n-2)日目　箱2を調べる