個人的に直感に反する答えになってびっくりしたので投稿。
長いけど考えてみてくれ


問.
Z^2 をユークリッド平面上の格子点全体の集合とする。成分ごとの足し算によりZ^2を加法群と見なす。

Z^2上で定義されて実数値をとる関数fであって、任意の(x,y)∈Z^2に対して
f(x,y) = (1/4)･(f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1))
を満たすようなもの全体の集合をVとおく。
関数の加法と実数でのスカラー倍により、VはR上のベクトル空間となる。

GをZ^2の部分群とする。
f∈V のうち、Z^2/G上でwell-definedとなるようなもの全体の集合を V_G とおく。
(つまり、任意の p∈Z^2 と g∈G について f(p)=f(p+g) となるようなf全体の集合、ということ)
V_GもまたR上のベクトル空間となる。

G=<(2,0)>,<(2,1)>,<(2,2)> のそれぞれの場合について dimV_G を求めよ。