a_n=1/(n+1) とおく。
任意の自然数 n に対して a_n>0 であるが、lim[n→∞]a_n>0 ではない。

つまりある命題が任意の自然数について成り立つという理由で極限でも成り立つとしてはならない。両者は別物である。
スレ主はこんなこともわからずに極限モデルがどうのこうのと言ってるのか？バカ過ぎるだろ