>>275 つづき

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/
講義ノート 平場 誠示

http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
（上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01)
（抜粋）
1.1 測度とは何か？

高校までに1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 として習って来たであろう.
では次の計算はどこがおかしいのだろうか？(ここでは長さを| ・ | を用いて表す.)
1 = |[0, 1]| = Σ {x∈[0,1]} |{x}| = 0.
区間[a, b] (a < b) の長さをb ? a と定義するのは問題ないであろう.
では1 点の長さを0 とするのがまずいのであろうか？
しかしこれを正とすると, 場所に寄って長さが変わるというのは考えにくいので, 全て同じ値として, それを無限にたすと無限大になり, 1 = ∞ となってしまう.
それに|{x}| ? |[x, x + 1/n]| = 1/n → 0 (n → ∞) から|{x}| = 0 とするのも妥当であろう.

答えは, 実は, 上の足し算がまずいのである.
我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである.
無限和＝可算無限和＝有限和の極限.

では長さの測れ
る集合(可測集合) とはどのようなものであろうか？それがLebesgue 可測集合と呼ばれるもので,

測度とはこのように測れる集合や許される演算などを明確にし, 長さというものをより厳密にし,
さらに一般化したものを表すのである.
大事なことは, 全ての演算が可算無限までしか許されないということである.

つづく