>>276 つづき

2 可測集合と測度(Measurable sets and Measures)
以下では, X を集合として, その全部分集合族を2^X で表す.

2.1 σ-加法族
定義2.1 X の部分集合族F, i.e., F ⊂ 2^X が
(1) Φ ∈ F
(2) A ∈ F =⇒ A^c ∈ F
(3) A1,A2, ・ ・ ・ ∈ F =⇒∪{n=1〜∞}An ∈ F
をみたすときσ-加法族(σ-additive class) またはσ-集合体(σ-field) という.

問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.
(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}
(2) X = R,-∞ ? a ? b ? ∞ に対し, (a, b] の形の区間の有限和で表される集合
∪{k=1〜n} (ak, bk]
全体, 但しb = ∞ なら(a,∞), a = b ならΦ とみなす.

2.3 測度空間
R~ = R∪{±∞} として, +∞ = ∞ と表し, 便宜上, 次のように定める: a ∈ R (有限値) に対して
a ±∞ = ±∞, a ×∞ = ∞ (a > 0),= -∞ (a < 0), 0 ×∞ = ∞× 0 = 0, a/∞ = 0.

∞ を-∞ に変えても同様である. また∞-∞ や∞/∞ などは定義しない(できない).
注意　ここで注意して欲しいのは∞=∞ = ∞× 1=∞ = ∞× 0 = 0 などという計算をしてはいけない！　
ということである. 上の無限大はあくまで, 有限な値からの極限として考えるべきものである.

つづく