>>415
カラオケバトルや採点競技の採点方法のルールがよく分からんが、解釈が正しければ、以下の通り。

n≧2 としてよい。
各 t＝1,2,…,n に対して第t番目の歌い手を a_t とする。
各 t＝1,2,…,n を a_t が歌う時刻とする。
時刻 t＝1,…,n でトップが入れ替わる回数を b_t とする。
t＝1 では a_1 の他にトップはいないから b_1＝0。
t＝2 では a_2 がトップを狙うから b_2＝1。
t＝3 では a_1, a_2, a_3 の間でトップを競い、
a_3 しか入れ替わってトップになり得る人はいないから b_3＝1。
……
以下同様に、各 t＝2,…,n では a_1,…,a_t の間でトップを競い、
a_t しか入れ替わってトップになり得る人はいないから b_t＝1。
よって、n回観測することから、トップが入れ替わる平均回数は
(Σ_{t=1,…,n}(b_t))/n＝(b_1＋Σ_{t=2,…,n}(b_t))/n
　　　　　　　　　　　　＝( 0＋1×(n−1) )/n
　　　　　　　　　　　　＝(n−1)/n。