A'⊂S' に対して

f^{-1}(A') ＝ { x∈S｜f(x)∈A' }

と定義される。よって

{ x∈S｜f(x)∈A' } ⊂ S

を示せばよい。しかし、これは明らか。よって f^{-1}(A') ⊂ S である。

補足：
y∈S' に対して f^{-1}(y) は必ずしも存在しないが、
f^{-1}( {y} ) は常に存在し、しかも f^{-1}( {y} ) ⊂ S が成り立つ。
なぜなら、f^{-1}(y) が存在しないときには f^{-1}( {y} ) ＝ φ になるだけであり、
φ⊂S なのだから f^{-1}( {y} ) ⊂ S は やはり成り立っているのである。