>>268
F'(x) = sin(1/x) だから
F'(0) = 0 はそんなに自明ではない。
そもそも F'(0) = 0 がこの問の本質なのに
あの本の例よりで説明を済ませるなんて、
本質を理解しなさすぎ。


>>224
準備: f(x) = (1/x) ∫[x, 2x] sin(1/t) dt とおくと

f(-x)
= -(1/x) ∫[-x, -2x] sin(1/t) dt
= -(1/x) ∫[x, 2x] sin(-1/t) (-dt) = -f(x)

この関係があるので、
当面 x > 0 の場合を考える。

1/x = y と置換し、積分も 1/t = u と置換する。
y/2 ≤ u ≤ y より 1/y^2 ≤ 1/u^2 ≤ 4/y^2 だから

f(x)
= y ∫[y/2, y] sin(u)/u^2 du
≤ y ∫[y/2, y] 4sin(u)/y^2 du
= (4/y) ∫[y/2, y] sin(u) du

ここで y/2 + 2nπ (n ∈ N) ≤ y をみたす
最大の n をとるとき、左辺を z とおくと

∫[y/2, y] sin(u) du
= ∫[y/2, z] sin(u) du + ∫[z, y] sin(u) du

右辺第1項は sin(u) の周期性から 0 で、
右辺第2項は

|∫[z, y] sin(u) du|
≤ ∫[z, y] |sin(u)| du
≤ ∫[z, y] du
= y - z
< 2π

と評価できる。
# |∫[x, y] sin(t) dt| ≤ 2 が任意の実数 x, y に
# 対して成り立つが、ここではもっと荒く
# 見積もってみた

以上のことから

x > 0 のとき f(x) < 8π/y = 8πx

よって、x < 0 のときは
f(x) = -f(-x) > -8π(-x) = 8πx

したがって |f(x)| < 8π|x| が成り立つので、
x → 0 のとき f(x) → 0