面白い問題教えて〜な 24問目 [無断転載禁止]©2ch.net

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Σ(k=1;n)(k^4) - (n - 1)(n^4 + n^3 + n^2 + n)/5
=
aΣ(k=1;n)(k^3) + bΣ(k=1;n)(k^2) + cΣ(k=1;n)(k)
を満たす整数の組a,b,cを一つ求めよ。

(k=1;n)Σa_kは、k=1からnまでのa_kの総和を計算することを表す。

これの出題者だが、正解が出たのでこちらも解答を書いておく

両辺下降差分を取って、an³+bn²+cn
=n⁴-(n-1)(n⁴+n³+n²+n)/5+{(n-1)-1}{(n-1)⁴+(n-1)³+(n-1)²+(n-1)}/5
=n⁴-{n⁵-n-(n-1)⁵+(n-1)}/5
=2n³-2n²+n
∴n,n²,n³の線型独立性より、a=2,b=-2,c=1が必要
元の式にn=1を代入し、a+b+c=1より、元の式のn=1で成立
∴帰納的に、これが求めるべき解である

解答や細かいことはともかく、どこら辺が面白いの？

新スレに気づかなくて重複スレを立ててしまったけど赦して
↓は落とすなり25スレ目にするなり

面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
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積み残し

937 １３２人目の素数さん 2017/08/04(金) 14:40:03.29 ID:S6Ck6bY/
地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側（高緯度側）を通るためのA,Bの位置関係を答えよ。
例えば東京とロンドンはこの位置関係にある（飛行機はロシア上空を通過する）。



地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で（大圏航路で）移動する。
また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円（大円）の弧になることが知られている。

お詫びに1問

{1,2}
1, 2,2, 1,1, 2, 1, 2,2, 1, 2,2, 1,1, 2, 1,1, 2,2, 1, …

{1,3}
1, 3,3,3, 1,1,1, 3,3,3, 1, 3, 1, 3,3,3, 1,1,1, 3,3,3, …

{1,2,3}
1, 2,2, 3,3, 1,1,1, 2,2,2, 3, 1, 2, 3,3, 1,1, 2,2, …

などの数列に特徴的なことは何か？
{2,3}や{1,3,2}はどうなるか？

>>8
その数列全体を{a_n}とする。
{a_n}を、同じ数字の連続をグルーピングして群数列とみなすと
各群の項の数字としては最初に与えられた数の並びが順に出現し
（例えば{1,2,3}であれば、各群の中身の数字は順に1,2,3,1,2,3…となっている）、
なおかつ第n群の項数がa_nとなっている。

{2,3}であれば、
2,2, 3,3, 2,2,2, 3,3,3, 2,2, 3,3, 2,2, 3,3,3, 2,2,2, 3,3,3, 2,2, 3,3, …
{1,3,2}であれば、
1, 3,3,3, 2,2,2, 1,1,1, 3,3, 2,2, 1,1, 3, 2, 1, 3,3,3, 2,2,2, 1,1, 3,3, 2, 1, …

>>9
正解！
これは Kolakoski 数列
アマチュア数学者が提案して純粋数学の研究対象になった例
https://en.wikipedia.org/wiki/Kolakoski_sequence
https://oeis.org/A000002

耳栓をしたら世界が変わってワロタ

前スレで出た数列の問題ってどうなったんだ？

☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆

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耳栓をしたら世界が変わってワロタ

積み残し

ハンターと見えないうさぎが平面上でゲームを行う.
うさぎが最初にいる点 A_0 とハンター が最初にいる点 B_0 は一致している. n - 1 回のラウンドが終わった後, うさぎは点 A_(n-1) におり,ハンターは B_(n-1) にいる. n 回目のラウンドにおいて, 次の 3 つが順に行われる：
(i) うさぎは A_(n-1) からの距離がちょうど 1 であるような点 A_n に見えないまま移動する.
(ii) 追跡装置がある点 P_n をハンターに知らせる. ただし, P_n と A_n の距離が 1 以下であるということだけが保証されている.
(iii) ハンターは B_(n-1) からの距離がちょうど 1 であるような点 B_n に周りから見えるように移動する.
うさぎがどのように移動するかにかかわらず, またどの点が追跡装置によって知らされるかにかかわらず,
ハンターは 10^9 回のラウンドが終わった後に必ずうさぎとの距離を 100 以下にすることができるか

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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今年のIMOの問題らしいが
そろそろ解説を

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>>7
同じ緯度じゃないとどっちかより低緯度通るよ

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>>28
問題文は「A,B両方より高緯度側を通ることがある」ということね

東京（北緯35度）とメキシコシティー（北緯20度）
東京とリオデジャネイロ（南緯25度）
はこの位置関係にあるが

東京と大阪（北緯35度）
東京とブエノスアイレス（南緯35度）
はこの位置関係にない（東京より北は通らない）

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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>>30
ンじゃ2点を通る大円の短弧が子午線と直交するのが条件てことか
どういう位置関係って言えばいいんだろ

Aを通ってAにおいて子午線に直交する大円で球面を2分した北極側にBがあればいいのかな

お互いにそうなっている必要あるな

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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仮にウサギがｙ軸上を１ずつ進むとします。追跡装置の方向にハンターが１動いてもｙの値は１未満になりどんどん差が開くのでハンターがｙ軸に平行に動く必要がありますが、ｙ軸は確定できないので、差が開く
なので必ずしも１００以下にはできない

どうでしょうか

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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>>46
ベストな戦略はPnの方向へ動くってことのはずだから
10^9回動いてPn中心半径99の円内に行けるかってことじゃないかな

>>48
>ベストな戦略はPnの方向へ動くってことのはず
これが間違ってるかも知れん

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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>>49
P(n-1)も参考にするんじゃないかな？
最も使えないP1,P2が与えられたときの
A2の推定位置を考えると、
一般にAnを推定するとき
P(n-2)以前のPは役に立たないことが判る。
でも、P(n-1)は使えるかもしれない。

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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>>15
ハンター側がきちんとデータを処理すれば、そんなに離されないと思うのだよね。

n回目までの追跡装置からの情報のみからみて、うさぎがいる可能性のある領域（点の集合）を
S_nとする。ただし、S_0は、うさぎが最初にいた可能性のある場所、すなわち、
点A_0の１点のみの集合である。
S_nは、S_{n-1}の各点から距離1の点の集合と、
P_nを中心とした半径1の円の周または内部の点の集合の共通部分となる。
S_nのうち、B_{n-1}から最も遠い点（の１つ）をQ_nとし、B_{n-1}とQ_nの距離をx_nとする。
ハンターは、n回目はQ_nの方向へ移動するものとする。すなわち、B_nはB_{n-1}からQ_n方向に
１進んだ場所となる。
さらに、S_nのうちB_nから最も遠い点（の１つ）をR_nとし、B_nとR_nの距離をy_nとする。
x_nとy_nは、移動前後における、ワーストケースを想定したときのうさぎとの距離となる。

x_n≧1で、Q_nとR_nが一致するならば y_n = x_n -1 となる。
一方、x_{n+1} ≦ y_n +1 となるのは明らか。
すなわち、x_n≧1で、Q_nとR_nが一致するならば x_{n+1} ≦ x_n

したがって、Q_nとR_nが一致しないようなケースが、x_nがある程度大きい値となったところでも
続けて発生しない限り、x_nが増えて行くことはないし、y_n と x_n -1 の差も、蓄積して
大きくなっていくようなものではないように見える。
ただ、このあたりはS_nの形状についての話になるので、厳密な議論は面倒臭そう。

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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ずいぶん昔に、MathNori っていう難しめの出題サイトがあったけど、今は ああいうのって無いかな？

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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半径が1の円の面積を理由を示しながら求めよ。

1.
まず、答えそのものはπとしておいて、でも理由が必要。
πの定義はあくまで「円周と直径の比」だから面積を半径×半径×πで求めることができない。
(「面積と半径の二乗の比」がπの定義ではないから)
2.円を正多角形として扱い、それを三角形に分割して考える方法を取って、これが多角形の頂点の数を無限に近づけた時πに収束することを示そうとしてみる。

その三角形１つの面積は、円の中心部に当たる鋭角の角をθとすると、その面積は、半径1なので1/2sinθ。
これがn個、θは2π/nのため、総面積はn/2sin(2π/n)

これをn→∞にするとsinの極限の公式からこれが1/2×2π＝π
とわかる。

つまり答えはπ。

3. sinの極限の公式(sinx/x(x→0)＝1)の定義を導き出す過程において、円の面積が半径×半径×円周率であることを用いる必要があるため、2の証明では循環論法に陥る。

...誰か教えてください

★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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>>78
高校数学で循環論法を解消するのは少し難しいので、だいたい三角関数を改めて定義して対処することが多い

sinx = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - …
cosx = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 -…

こうすると今まで登場した三角関数の性質は全て満たし、sinの極限は面積を経由せずに導出できる

>>78
>その面積は、半径1なので1/2sinθ
これに円の面積使ってるでしょ

>>78
>sinの極限の公式
こっちにかな

>>92
なるほど
こちらの三角関数を微分方程式で定義化するものは結局どう面積公式につなげていくのですか？

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0.pdf

>>93
積分で定義するからそのまま面積じゃないの？

>>94
珍しいものを含めて定義方が列挙されたものを載せてあるだけなので上手くいくかすらわからないです。
私が知ってる本では冪級数と逆三角関数の積分しか載ってないので。

>>15
不可能。

うさぎと追跡装置が以下の戦略で動けばよい。
A_nとB_nの距離をd_nとおく。
A_1は適当に選び、P_1は原点とする。(これにより例えばd_1が少なくとも1.9以上になり得る)
n(≧1)ラウンド終了時点でうさぎが我に返ったら、
点A_nからの距離がちょうど m=[2d_n]+1 の点であって、B_nからA_n方向に引いた半直線との距離が1であるような2点のうちどちらか片方を選び、
(n+m)ラウンド目が終わるまでの間ひたすら我を忘れてその点に向かい続ける。(つまりA_(n+m)がその点になる)
そしてその間追跡装置は、うさぎがどちらの点を選んだか特定できないような点を知らせ続ける。

この戦略ならば、もしハンターが2点のうち遠い方(正確には近くない方)を選んだ場合
d_(n+m) > d_n + 1/(2m+1)
となるから、この不運が続けば
d_(n+m(m+1)) > d_n + 1/2
となり得る。

これより、最悪の場合帰納的に
d_1 > 1.5,
d_(1+4･5) = d_21 > 2,
d_(21+5･6) = d_51 > 2.5,
d_(51+6･7) = d_93 > 3,…
となり得るから、 d_(10^9) > 100 が示せる。

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