>>297の解決の糸口になるかも知れないから一応書いておく。
結論から言うと、『存在しない』が答だと思う。

(証明)
X=[0,1]^2 とおく。X上の文字Tを
T={(x,y)∈X | y=0 または x=1/2 }
とおき、Xの閉集合でTと同相なもの全体からなる集合をYとおく。

Y上の距離Dを
D(A,B) = inf_[同相写像ψ:A→B] max_[a∈A] d(a,ψ(a))
により定める。 …(★0)
この時、距離空間(Y,D)は第二可算公理を満たす。 …(★1)
Yの部分集合Λについて、Λのどの異なる2つの元も共通部分を持たないならば、Λの各元は孤立点である。 …(★2)
(★1)と(★2)より、Λは可算集合でなければならない。□

★0が実際に距離を定めることは確認したから、あとは★1と★2が示せたら証明が完成する。
★1はおそらく、有理点を頂点に持つ有限な折れ線をうまく使えば、可算で稠密な部分集合を構成できると思う。
★2は、どんなλ∈Λについても、ε>0を十分小さくとれば ( D(λ,y)<ε ならば λ∩y≠φ ) が成り立つ、という方法が吉かと