>>925
明記されてないが、10％増されたものも整数であるとして考える。
Nの各桁の数字の和をKとすると、
1.1Nも0.9001Kも整数なので、N=10n，K=10000k（n,kは自然数）とおける。
mod 9において、10n≡10000k，11n≡9001kより、n≡k≡0が言えるので、
kは9の倍数で，k=9x（xは自然数）とおける。そのとき，
1.1N=10n+nであり，10n，nの各桁の数字の和はいずれも90000x，
1.1Nの各桁の数字の和は9001k=81009xなので，
10進法の筆算で10nとnの和を求める際に繰り上がりが発生する回数をcとすると
81009x = 90000x+90000x-9c
となり、c=10999x
ここで、xは自然数なので、c≧10999
cは高々nの桁数なので、nの桁数の最小値は10999
よって、Nの桁数の最小値は11000

なお、そのような最小のNは、11000桁の数であり、
左端から1998桁は909090…を繰り返し、その後9001桁は全て9で、
右端（一の位）が0となる数であり
N = (10^11001 + 10^9002)/11 - 10

1.1Nは11001桁の数であり、
左端は1，その後0が1999個，9が8999個続き，下2桁は89