>>102

S[k](n)=1+2^k+3^k+...+n^k とすると、 S[k](n) は k+1 次式で、n^(k+1) の係数は 1/(k+1)　　＊＊＊　（☆）
であることを知っていればよい。小さいところでは、
S[1](n)=1+2+3+...+n = n(n+1)/2
S[2](n)=1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
S[3](n)=1+2^3+3^3+...+n^3={n(n+1)/2}^2
なので、成立していることが判る。

m^(k+1)-(m-1)^(k+1) = m^(k+1) - {m^(k+1) - (k+1)*m^k + (1/2)k(k+1)*m^(k-1) -+ ... + (-1)^(k+1)}
=(k+1)*m^k + ((mの(k-1)次以下の項))
この式において、m=n、m=n-1、...、m=2、m=1としたものの和を取れば、
左辺は、どんどん消し合い、右辺第一項には求めたいものがあらわれ、第二項以下は次数の小さい興味の無い項になり、結局
n^(k+1) = (k+1)*S[k](n) + ((nのk次以下の項))
が得られる。これにより、(☆)が示される。