http://imgur.com/B0y4VbG.jpg

↑は、藤原松三郎の微分積分学第1巻ですが、

この「極限の存在条件」の証明の最後の部分が意味不明です。

なぜ、 (x_n) はは別に (x_n') という数列を考えているのでしょうか？

全く意味不明です。