>>582 つづき

４．本題＜時枝数列（Full数列）の同値類のしっぽの共有部分が空集合でないことについての証明＞
数理論理学II 09 年講義ノート 坪井明人先生 筑波大 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/logic10.pdf
のP12 定理36 （ウルトラフィルターの存在）証明にならって、帰納法に持ち込む。(なお今回は、通常の帰納法（自然数の範囲）で十分である。)

i)ここでは、簡明のため、時枝記事に即して、Full数列の同値類を考える ＊）
（＊）部分数列を含めてもほぼ同じだが、記載が煩雑になる。）
ii)あるFull数列 A を用いて、同値類を作る。A= (a1，a2，a3 ，・・・,a_n0，a_n0+1，a_n0+2，・・・)に対して、定義の通りしっぽの先が一致するFull数列を全て集めて同値類F_A={A,A’,A’’,A’’’,・・・}を作ったとする。
iii) さて、A,A’,A’’,A’’’,・・・達は、一致番号が小さい順に並んでいると考えることができる。
iv) 一致番号をMとして、M＝2の場合
しっぽの先の共通部分A∩A ‘
＝ (a1，a2，a3 ，・・・,a_n0，a_n0+1，a_n0+2，・・・) ∩ (a’1，a2，a3 ，・・・,a_n0，a_n0+1，a_n0+2，・・・)
＝(Φ，a2，a3 ，・・・,a_n0，a_n0+1，a_n0+2，・・・)
ここで、{ a2，a3 ，・・・,a_n0，a_n0+1，a_n0+2，・・・} の集合の濃度は可算無限である
v) M＝nの場合
しっぽの先の共通部分∩(M=2〜n) A_M (注：ここに∩(M=2〜n) A_M は、一致番号Mが2からnまでのFull数列の積集合を表す)
=(Φ，Φ，・・・, Φ，s_M，s_ M +1，s_ M +2，・・・)
ここで、{ s_M，s_ M +1，s_ M +2，・・・} の集合の濃度は可算無限である（i.e. 集合の濃度に変化なし）＊）

つづく