>>392 ちょっとスタンバイモードだったので、考えてみた

「原点以外の点でX軸に接し」→重根を持つ→x=cで重根 と考える。これ、チャートとかに書いてあると思うが、頻出テクだな

（解法）
重根を持つので
f(x)=2x(x-c)^2 と置くことが出来る

f'(x)=2{(x-c)^2+2x(x-c)}
　＝2{(x-c)(3x-c)}
x=-1 で極小値をとるから、x=-1 で(x-c)=0 又は　(3x-c)=0。つまり、c=-1 又は c=-3
（「(-1-c)(-3-c)=0 から、c=-1 又は c=-3」 と書くのが普通だよ。が、ここでは、ちょっと分かり冗長に易く書いただけでまねしないようにね）

c=-1のとき、f(x)=2x(x+1)^2
これを展開して、f(x)=2x^3+4x^2+2x よって、a=4,b=2 （これはあなたの解の通り。かつ、x=-1 で極小値かつX軸に接する解）

c=-3のとき、f(x)=2x(x+3)^2
これを展開して、f(x)=2x^3+12x^2+18x よって、a=12,b=18 （これは、x=-1 以外（x=-3）でX軸に接する解）

（補足）
１．解は二つ。c=-1とc=-3と。>>392のように、一つだけの解だと減点大だろう。
２．”「原点以外の点でX軸に接し」→重根を持つ→x=cで重根 と考える”ことで、パラメータが１つになる。(a,b)二つで考えるより見通しが良くなるし、解２つも見やすい
　　だから、是非この頻出テクはマスターしておくべしだと思うよ

以上