>>892
C(n-1,k-1)*C(n,k) を

横k-1、縦n-kの格子状道路の最短経路の総数と
横n-k、縦kの格子状道路の最短経路の総数との積

と考えれば、k=1,2,3,...,nの和をとることで

横n-1、縦nの格子状道路の最短経路の総数

と一致することがわかる。その最短経路を
n-1ステップ目の位置で場合分けして
足したものと捉える。

だから和は C(2n-1,n)=(2n-1)!/n!/(n-1)!
分子分母に2nをかけて
(2n)!/n!/(2*n!)=C(2n,n)/2