分からない問題はここに書いてね433 [無断転載禁止]©2ch.net

>>892
＞Σ[k=0,n](k*C(n,k)^2)
＞=n*Σ[k=1,n](C(n-1,k-1)*C(n,k))

から出発する。C(n,k)=C(n,n-k) だから、Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) について
考えればよい。

( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )

を展開したときの x^{n-1} の係数は Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k) である。一方で、

( Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)x^{k-1} ) * (Σ[k=1,n] C(n,n-k)x^{n-k} )

＝(1＋x)^{n-1} * ((1＋x)^n−x^n)＝(1＋x)^{2n-1}−x^n(1＋x)^{n-1}

だから、x^{n-1} の係数は C(2n-1,n-1) である。よって、

Σ[k=1,n] C(n-1,k-1)*C(n,n-k)＝C(2n-1,n-1)

となるので、求める答えは n*C(2n-1,n-1) となる。
C(2n,n)＝2C(2n-1,n-1) を使えば、求める答えは n*C(2n,n)/2 とも表せる、