>>955
数式は単なる記号であって、それ自体には意味を持たない、ということを意識しましょう

sinx/xは通常、x＝0では定義されません
f(x)=sinx/x(x≠0)
1(x=0)
こういう関数なら全てのxで定義されます
もしかしたら、f(x)を定義せずsinx/xがx=0でも定義されているかもしれませんが、その場合はfのことを指しているのだと解釈しましょう

sinx/xの定義域はR\{0}で、fの定義域はRです
sinx/xはx=0でそもそも定義がされていないのですから、連続となるはずがないのです
sinx/xをfと扱う場合ももしかしたらあるのかもしれませんが、そのときはそのときです
sinx/xの定義によるわけですね

>>956
は広義積分の扱いだと思うので、今回の話は無関係です